Una corda e tre animali
Immaginiamo di avere una corda lunga quanto la circonferenza terrestre, pari a 40075 km, distesa lungo l'equatore. Immaginiamo ora di allungare la corda, aggiungendovi uno spezzone di 1 metro e quindi di ridistribuirla attorno all'equatore in modo che si trovi lungo tutta la circonferenza ad una distanza costante dalla superficie terrestre.
Quale dei seguenti tre animali può passare di misura nello spazio interposto tra la corda e la superficie terrestre: una formica, un gatto o un elefante?
soluzione la risposta è:
un gatto (e ovviamente la formica ci passa abbondantemente)! Questa risposta è sorprendente, in quanto si è indotti a pensare che allungare una circonferenza così lunga di una percentuale infinitesima provochi un aumento del raggio altrettanto infinitesimo. Invece questo non è vero, perché l'incremento subito dal raggio dipende solo dalla lunghezza del pezzo di corda aggiunto e non dal raggio della circonferenza iniziale.
Il calcolo è immediato. Indicando RCorda il raggio della corda dopo averla allungata di 1m, con RTerrestre il raggio della Terra e con C = 2π•R la sua circonferenza, si ha che la distanza d tra la corda e la superficie terrestre è data da:
d = RCorda - RTerrestre = (C + 1)/(2π) - C/2π
che vale circa 16 cm, e quindi ci può passare sotto anche un gatto.
Calcolando in dettaglio e convertendo le distanze in millimetri, per una maggiore precisione di misura, si ottiene:
RTerrestre = 40075000000/2π = 6381369426 mm
RCorda = (40075000000 + 1000)/2π = 6381369585 mm
d = RCorda - RTerrestre = 159 mm = 15,9 cm
Un fugone parte da Roma diretto a Milano. Alla partenza risulta pesare esattamente 3020Kg, carburante e autista compreso. Proprio poco prima di entrare a Milano incontra un ponte che può sopportare un carico di 3t al massimo. L’autotrasportatore un po’ scocciato sta per fare marcia indietro e cercare una strada alternativa, ma poi riflette un attimo e imbocca ugualmente il ponte sicuro di sé, attraversandolo senza causarne il crollo.
Considerato che durante il viaggio durato 6h l’autista non si è mai fermato per scaricare o caricare nulla e ovviamente il suo peso corporeo si è mantenuto sostanzialmente costante, come mai è stato così sicuro che il ponte avrebbe retto?
soluzione:
Il furgone nel tragitto tra Roma e Milano avrà sicuramente consumato più di 20Kg di carburante!
Se consideriamo una distanza tra Roma e Milano di 572km e un consumo medio di carburante pari a 8,5Km/l (stima valida per un veicolo di massa complessiva inferiore a 3,5t) possiamo calcolare un consumo di circa 572/8,5 = 67,3l.
Assumendo per il gasolio un peso di 850g/l, questo comporta una perdita di peso per il furgone pari a 67,3x850 = 57,2kg che quindi può attraversare il ponte con una massa di circa 3020-57,2 = 2962,8kg che è inferiore a 3t.
Due funi da cinquanta metri sono sospese da un soffitto alto quaranta metri e si trovano a circa sei metri di distanza l’una dall’altra. Armato solo di un coltello, quanta parte delle funi potresti recuperare?
Suggerimento: le due funi saranno sicuramente annodate a dei ganci o a degli anelli passanti posti al soffitto.
soluzione
Potresti recuperare tutte e due le funi quasi interamente! L’importante è sapersi arrampicare.
Prendi la cima di una delle due funi, legatela alla vita e arrampicati sull’altra fune fino al soffitto. Annoda la fune che hai portato su alla fune su cui ti trovi, il più vicino possibile al soffitto, come una cravatta, lasciandone cadere la cima. Spostati su questa fune e taglia in alto la fune su cui ti sei arrampicato, in questo modo tu ti terrai ancora al soffitto e le due funi saranno annodate un po’ sotto il soffitto.
Scendi. Prendi la cima della fune tagliata, legatela alla vita e arrampicati sull’altra fune. Fai passare la cima che hai portato su, attraverso il passante che tiene al soffitto la fune su cui si salito, fino a quando sarà bloccata dal nodo. Poi spostati su questa fune che hai fatto scorrere nel passante. Taglia in alto la fune agganciata al soffitto e grazie al nodo fatto in precedenza la fune su cui ti trovi sarà salda al passante, dato che con il tuo peso la stai tirando verso il basso.
Scendi e una volta a terra prendi l’altra fune, tira il nodo verso di te, così facendo fai scorrere attraverso il passante la fune da cui sei sceso. Avrai raccolto quasi per intero le due funi.
Come nel caso dell’enigma “La catena d'oro”, ma considerando una catena composta da 30 anelli e il conoscente che chieda di venir ricompensato con un anello di catena d'oro al giorno, per ognuno dei successivi 30 giorni.
Anche in questo fu chiesto di trovare un sistema per non dover aprire tutti gli anelli della catena.
soluzione:
Nel caso dei 30 anelli in 30 giorni, uno al giorno, la soluzione si ottiene spezzando gli anelli 3, 9 e 21. Così facendo si ottengono delle catene di lunghezza: 1, 1, 1, 2, 5, 9, 11 anelli. Combinando opportunamente i precedenti pezzi di catena e considerando le opportune restituzioni, si possono ottenere tutti i numeri da 1 a 30.
Due scatole sono etichettate "A" e "B".
Un cartello sulla scatola A riporta: "Il cartello sulla scatola B dice il vero e l'oro è nella scatola A", mentre un cartello sulla scatola B riporta: "Il cartello sulla scatola A è falso e l'oro è nella scatola A".
Supponendo che ci sia dell’oro in una delle due scatole, in quale delle due scatole si trova?
soluzione:
Il problema non può essere risolto con le informazioni fornite!
Se l’indicazione sulla scatola A fosse vera, allora l'affermazione riportata sulla scatola B sarebbe vera, poiché questo è quanto si afferma sulla scatola A. Ma la scritta sulla scatola B afferma che quanto scritto sulla scatola A è falso e questo contraddice l'ipotesi iniziale.
Pertanto, la dichiarazione sulla scatola A deve essere falsa. Ciò implica sia che la dichiarazione sulla scatola B è falsa, sia che l'oro si trovi nella scatola B. Ma se l'affermazione sulla scatola B è falsa, questo implica che l’affermazione sulla scatola A sia vera (il che non può essere, come già dimostrato) e anche che l'oro si trovi nella scatola B. Ad ogni modo, l'oro è nella scatola B.
Tuttavia, vi è un'ipotesi nascosta in questo argomento: vale a dire che ogni affermazione deve essere vera o falsa. Questa assunzione porta a dei paradossi, ad esempio, considerano la frase: "Questa affermazione è falsa". Se è vera, è falsa, se è falsa, è vera e l'unica via per uscire dal paradosso è negare che l'affermazione sia vera o falsa e etichettarla invece come senza significato. Entrambe le affermazioni sulle scatole sono quindi prive di significato e nulla può essere concluso da loro.
In generale, le affermazioni sulla verità di altre affermazioni portano a contraddizioni. Tarski, uno fra i maggiori logici della storia, ha inventato metalinguaggi per evitare questo problema. Per evitare il paradosso, una dichiarazione sulla verità di un'affermazione in una lingua deve essere fatta nel metalinguaggio della stessa lingua.
Il buon senso impone che questo problema non possa essere risolto con l'informazione data. Dopo tutto, come possiamo dedurre quale scatola contenga l'oro semplicemente dal leggere le dichiarazioni scritte all'esterno della scatola stessa? Supponiamo di aver dedotto che l'oro sia nella scatola B, da una qualunque linea di ragionamento noi abbiamo scelto di seguire, cosa è che ci ferma dal mettere l'oro nella scatola A, indipendentemente da quello che abbiamo dedotto?
Inizia con una mezza tazza di tè e mezza tazza di caffè. Prendi un cucchiaio di tè e mescolalo con il caffè. Prendi un cucchiaio di questa miscela e rimescolalo con il tè. Quale delle due tazze contiene più del suo contenuto originale?
soluzione:
Le due tazze finiscono con lo stesso volume di liquido che avevano prima della miscelazione. La quantità di tè che è stata trasferita alla tazza di caffè è la stessa quantità di miscela trasferita alla tazza di tè. Perciò ogni tazza contiene la stessa quantità di contenuto originale.
In una schiera rettangolare di persone, chi sarà la persona più alta: la più alta delle persone più basse di ogni colonna o la più bassa delle persone più alte di ogni riga?
soluzione:
Indichiamo con T il più basso tra gli alti di ogni riga. Indichiamo con S il più alto tra i bassi di ogni colonna. Indichiamo con X la persona che sta nell’incrocio tra T e S (oppure tutte quelle persone che si trovano tra T e S, se quest’ultime si trovano sulla stessa riga o colonna), sarà sempre: T ≥ X ≥ S.
La persona più alta tra i più bassi di ogni colonna S sarà sempre la più bassa tra i più alti di ogni riga T.
soluzione:
